数学
（1）观察一列数a
1
=3，a
2
=9，a
3
=27，a
4
=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是
3
3
；根据此规律，如果a
n
（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a
6
=
3
6
3
6
，a
n
=
3
n
3
n
；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2
2
+2
3
+…+2
9
的值，可令S
10
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
9
①将①式两边同乘以2，得
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
9
+2
10
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
9
+2
10
②，由②减去①式，得S
10
=
2
10
-1
2
10
-1
．
（3）若（1）中数列共有30项，设S
30
=3+9+27+81+…+a
30
，请利用上述规律和方法计算S
30
的值．
（4）设一列数1，2，4，8，…，2
n-1
的和为S
n
，则S
n
的值为
2
n
-1
2
n
-1
．
观察下面的一列数，探究其规律：
-
1
2
，
2
3
，
-
3
4
，
4
5
，
-
5
6
，
6
7
，…
①分别计算出第1个数与第2个数的和，第3个数与第4个数的和；
②猜想第n个数与第n+1个数的和（n为奇数）
阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？我们可以先从简单的几个数开始，计算、观察，寻求规律，得出一般性的结论．
1=
1×2
2
=1
，
1+2=
2×3
2
=3，1+2+3=
3×4
2
=6，1+2+3+4=
4×5
2
=10
；…，
（1）计算：1+2+3+…+100=
5050
5050
．
（2）计算：41+42+43+…+100=
5050
5050
-
820
820
=
4230
4230
．
找规律：下列数中的第2003项是多少？2004项呢？第n个呢？
1，-2，3，-4，5，-6…
（B题）从2开始，将连续的偶数相加，和的情况有如下规律：
2=1×2，
2+9=6=2×得，
2+9+6=12=得×9，
2+9+6+8=20=9×它，
2+9+6+8+10=得0=它×6，
2+9+6+8+10+12=92=6×7，
…
按此规律，
（1）直接写出结果：
从2开始连续6个偶数相加，其和是
92
92
；
从2开始连续99个偶数相加，其和是
9900
9900
；
从2开始连续n个偶数相加，和是
n（n+1）
n（n+1）
；
（2）1000+1002+1009+1006+…+2012的和是多少？
（右少11·六盘水）有一列数：
1
3
，
-
右
5
，
3
7
，
-
4
9
…，则它的第7个数是
7
15
7
15
；第n个数是
(-1
)
n+1
n
右n+1
(-1
)
n+1
n
右n+1
．
（2011·广西）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如
1
2
，
1
3
，
1
4
，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如
1
2
=
1
3
+
1
6
；
1
3
=
1
4
+
1
12
；
1
4
=
1
5
+
1
20
；…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数
1
n
（n是不小于2的正整数）=
1
a
+
1
b
，那么a+b=
（n+1）
2
（n+1）
2
．（用含n的式子表示）
（2011·德宏州）如图，“杨辉三角”给出了（a+b）
n
（n是正整数）展开式的系数规律，观察每一行数的和，按此规律，第n行数的和为
2
n
2
n
（用含有字母n的式子表示）．
1
1 1 …（a+b）
1
1 2 1 …（a+b）
2
1 3 3 1 …（a+b）
3
1 4 6 4 1 …（a+b）
4
…
（2011·丹东）按一定规律排列的一列数，依次为1，4，7，…，则第n个数是
3n-2
3n-2
．
（2t11·大庆）根据以下等式：1=1
2
，1+2+1=2
2
，1+2+3+2+1=3
2
，…．
对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+…+（n-1）+n+（n-l）+…+2+1=
n
2
n
2
．
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