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如图，已知∠A=∠D，AD、BC交于点O．
（1）试说明△AOB∽△DOC．
（2）若AO=2，DO=3，CD=5，求AB的长． -
如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请你说明以下各式成立的理由：
（1）∠CAD=2∠DBE；
（2）AD2-AB2=BD·DC． -
如图，正方形ABCD，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于O，交边AB的延长线于N．
（1）选图中任一对相似三角形，并证明；
（2）若∠P=60°，CP=2，求OE的长． -
如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动．连接DF，DE，EF．过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D、E、F在一条直线上的情况）．
（1）填空：当t=5 3 时，AF=CE，此时BH=5 3 20 9 ；20 9
（2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；
（3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S，△DEF的周长为C．
①求S关于t的函数关系式；
②直接写出C的最小值．
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已知△ABC和△ADE分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形，以CE，CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH．
（1）如图1，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为45°45°；CH与CD的数量关系是CH=
DC2 CH=．
DC2
（2）将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2，（1）中结论是否成立，试说明理由．
（3）将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°＜α＜45°）得图3，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ=8=8．
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
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如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E在AD边上，且AE=4，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长． -
如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：
=AB AC
．DF AF -
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=3cm，AB=4cm，AD⊥BC于D，与BD等长的线段EF在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动（运动前EF与BD重合），过E，F分别作BC的垂线交直角边于P，Q两点，设EF
运动的时间为x（s）．
（1）若△BEP的面积为ycm2，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）线段EF运动过程中，四边形PEFQ有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时x的值；若不可能，说明理由；
（3）x为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ -
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随
之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．