试题

题目：
青果学院如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请你说明以下各式成立的理由：
（1）∠CAD=2∠DBE；
（2）AD2-AB2=BD·DC．
答案
青果学院证明：（1）延长BE交圆于点F，
∴∠DBF=∠1
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB=∠1+∠F
∴
AF
=
AC
+
CF
=
AB
+
DF

∵AB=AC
∴
AB
=
AC

∴
CF
=
DF

∴点F是
CD
的中点
∴∠DAC=2∠1
∴∠CAD=2∠DBE；

（2）连接BC交AD于点G，青果学院
∵AB=AC
∴∠2=∠5，∠BAG=∠DAB，
∴△BAG∽△DAB．
∴AB2=AG·AD．
∴AD2-AB2=AD2-AG·AD=AD（AD-AG）=AD·DG，
∵∠5=∠ADC，∠DBG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC．
∴
BD
AD
=
DG
DC
，
∴AD·DG=BD·DC．
∴AD2-AB2=BD·DC．
青果学院证明：（1）延长BE交圆于点F，
∴∠DBF=∠1
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB=∠1+∠F
∴
AF
=
AC
+
CF
=
AB
+
DF

∵AB=AC
∴
AB
=
AC

∴
CF
=
DF

∴点F是
CD
的中点
∴∠DAC=2∠1
∴∠CAD=2∠DBE；

（2）连接BC交AD于点G，青果学院
∵AB=AC
∴∠2=∠5，∠BAG=∠DAB，
∴△BAG∽△DAB．
∴AB2=AG·AD．
∴AD2-AB2=AD2-AG·AD=AD（AD-AG）=AD·DG，
∵∠5=∠ADC，∠DBG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC．
∴
BD
AD
=
DG
DC
，
∴AD·DG=BD·DC．
∴AD2-AB2=BD·DC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．
（1）如图要证明∠CAD=2∠DBE，延长BE交圆于点F，只需要证明∠1=∠DBF，点F是弧CD的中点，这样就可以证明出结论．
（2）要证明结论的成立构造相似三角形，利用相似三角形的线段比证明其线段的关系，连接BC设BC与AD的交点为G．∴△BAG∽△DAB和△BDG∽△ADC，从而证明出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆周角之间的关系．
证明题．
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