试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E在AD边上，且AE=4，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
答案
青果学院（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵AB=3，AE=4，
∴BE=
AB2+AE2
=
32+42
=5，
∵AD=6，AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
∵△ABE∽△DEF，
∴
DE
AB
=
EF
BE
，
即
2
3
=
EF
5
，
解得EF=
10
3
．
青果学院（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵AB=3，AE=4，
∴BE=
AB2+AE2
=
32+42
=5，
∵AD=6，AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
∵△ABE∽△DEF，
∴
DE
AB
=
EF
BE
，
即
2
3
=
EF
5
，
解得EF=
10
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两角对应相等，两三角形相似证明；
（2）利用勾股定理列式求出BE，再求出DE，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，利用同角的余角相等求出相等的锐角是证明三角形相似的关键．
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