试题

如图，正方形ABCD，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于O，交边AB的延长线于N．
（1）选图中任一对相似三角形，并证明；
（2）若∠P=60°，CP=2，求OE的长．

解：（1）△OCM∽△OEP．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OCM=90°，
∵DP⊥OE，
∴∠OEP=90°，
而∠MOC=∠POE，
∴△OCM∽△OEP；

（2）在Rt△DCP中，∠P=60°，CP=2，
∴DP=2CP=4，
∵OE垂直平分DP，
∴PE=

1

2

DP=2，
在Rt△POE中，OE=

3

PE=2

3

．
解：（1）△OCM∽△OEP．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OCM=90°，
∵DP⊥OE，
∴∠OEP=90°，
而∠MOC=∠POE，
∴△OCM∽△OEP；

（2）在Rt△DCP中，∠P=60°，CP=2，
∴DP=2CP=4，
∵OE垂直平分DP，
∴PE=

1

2

DP=2，
在Rt△POE中，OE=

3

PE=2

3

．