试题

题目：
青果学院如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：
AB
AC
=
DF
AF
．
答案
证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴
AB
BD
=
AC
AD
，
∴AB：AC=BD：AD①，
∴∠C=∠FAD，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED=
1
2
AC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD=DF：AF②，
由①②得，
AB
AC
=
DF
AF
．
证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴
AB
BD
=
AC
AD
，
∴AB：AC=BD：AD①，
∴∠C=∠FAD，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED=
1
2
AC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD=DF：AF②，
由①②得，
AB
AC
=
DF
AF
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
首先由直角三角形的性质可得：△CBA∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例，可得：AB：AC=BD：AD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证得：ED=
1
2
AC=EC，可得：∠C=∠EDC，则易得：∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，证得：△DBF∽△ADF，则得：BD：AD=DF：AF，则问题得证．
此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
证明题．
找相似题