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有54张卡片，编号分别为1，2，3，…，54．李明将其按编号数字由小到大的次序由上到下放成一叠，再将第1张卡片丢掉，把第2张放在最底层；再将第3张卡片丢掉，把第4张放在最底层；…．如此进行，那么最后一张卡片的编号是
4444．
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对一切正整数n，有f（n+1）=f（n）+n，且f（1）=1，则f（n）=
n2-n+2 2 ．n2-n+2 2 -
1999加上m的
得到七个数，再加上所得的数的1 2
又得到七个数，再加上这次得数的1 二
又得到七个数，…，依此类推，七直加到上七次得数的1 4
，那么最后得到的数是1 1999 19990001999000． -
（1）如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是66．
（2）观察一列数：3，8，13，18，23，28，…依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是20032003． -
若x1，x4，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足（4005-x1）（4005-x4）（4005-x3）（4005-x4）（4005-x5）=444，
则x14+x44+x34+x44的末位数字是11． -
（1）我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×10+9，表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0，1，2，3，…9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中101=1×22+0×21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数1313．
（2）探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加．得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和…．重复运算下去，就能得到一个固定的数T=153153，我们称之为数字“黑洞”． -
（2012·益阳）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（-1）×2=-2 （-3）×（-4）×（-5）=-60 三个角上三个数的和 1+（-1）+2=2 （-3）+（-4）+（-5）=-12 积与和的商 -2÷2=-1， -
（2012·东莞）观察下列等式：
第1个等式：a1=
=1 1×3
×（1-1 2
）；1 3
第2个等式：a2=
=1 3×5
×（1 2
-1 3
）；1 5
第3个等式：a3=
=1 5×7
×（1 2
-1 5
）；1 7
第4个等式：a4=
=1 7×9
×（1 2
-1 7
）；1 9
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=
=1 9×11
×(1 2
-1 9
)1 11 ；
=1 9×11
×(1 2
-1 9
)1 11
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=1 (2n-1)(2n+1) =1 (2n-1)(2n+1)
×(1 2
-1 2n-1
)1 2n+1 （n为正整数）；
×(1 2
-1 2n-1
)1 2n+1
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． -
（2011·揭阳）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第8行的最后一个数是6464，它是自然数88的平方，第8行共有1515个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是n2-2n+2n2-2n+2，最后一个数是n2n2，第n行共有（2n-1）（2n-1）个数；
（3）求第n行各数之和． -
（2010·济宁）观察下面的变形规律：
=1-1 1×2
；1 2
=1 2×3
-1 2
；1 3
=1 3×4
-1 3
；…1 4
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1 ；
-1 n 1 n+1
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
．1 2009×2010