试题

题目：
（2012·东莞）观察下列等式：
第1个等式：a1=
1
1×3
=
1
2
×（1-
1
3
）；
第2个等式：a2=
1
3×5
=
1
2
×（
1
3
-
1
5
）；
第3个等式：a3=
1
5×7
=
1
2
×（
1
5
-
1
7
）；
第4个等式：a4=
1
7×9
=
1
2
×（
1
7
-
1
9
）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=
1
9×11
=
1
2
×(
1
9
-
1
11
)
1
9×11
=
1
2
×(
1
9
-
1
11
)
；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=
1
(2n-1)(2n+1)
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
×(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
1
2
×(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
（n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
答案
1
9×11
=
1
2
×(
1
9
-
1
11
)

1
(2n-1)(2n+1)

1
2
×(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

解：根据观察知答案分别为：
（1）
1
9×11
；
1
2
×(
1
9
-
1
11
)；     

（2）
1
(2n-1)(2n+1)
；  
1
2
×(
1
2n-1
-
1
2n+1
)；

（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的
=
1
2
×（1-
1
3
）+
1
2
×（
1
3
-
1
5
）+
1
2
×（
1
5
-
1
7
）+
1
2
×（
1
7
-
1
9
）+…+
1
2
×(
1
199
-
1
201
)
=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+
1
7
-
1
9
+…+
1
199
-
1
201
）
=
1
2
（1-
1
201
）
=
1
2
×
200
201

=
100
201
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算．
此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．
压轴题．
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