数学
（2001·黑龙江）观察下列算式：2
1
=2
2
2
=4
2
3
=8
2
4
=16
2
5
=32
2
6
=64
2
7
=128
2
8
=256
…
通过观察，用你所发现的规律写出8
9
的末位数字是
8
8
．
（2001·福州）观察下列各式：1
2
+1=1×2，2
2
+2=2×3，3
2
+3=3×4，…，请你将猜测到的规律用含自然数n（n≥1 ）的等式表示出来为
n
2
+n=n（n+1）
n
2
+n=n（n+1）
．
（2000·黑龙江）观察下列等式：
1
3
=1
2
1
3
+2
3
=3
2
1
3
+2
3
+3
3
=6
2
1
3
+2
3
+3
3
+4
3
=10
2
…
想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以引出什么规律，并把这种规律用等式写出来．
1
3
+2
3
+…+n
3
=（1+2+…+n）
2
=
n
2
(n+1)
2
4
1
3
+2
3
+…+n
3
=（1+2+…+n）
2
=
n
2
(n+1)
2
4
．
（2013·遵义模拟）凯恩数据是按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是：
1
2
，
3
5
，
1
2
，
7
17
，
9
26
，按照这样的规律，这个数列的第8项应该是
3
13
3
13
．
（2013·山西模拟）在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，
6
5
，
9
7
，
4
3
，
15
11
…，小军猜想出的第六个数字是
18
13
，也是正确的，根据此规律，第n个数是
3n
2n+1
3n
2n+1
．
（2013·宁化县质检）让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n
1
=5，计算n
1
2
+1得a
1
；
第二步：算出a
1
的各位数字之和得n
2
，计算n
2
2
+1得a
2
；
第三步：算出a
2
的各位数字之和得n
3
，再计算n
3
2
+1得a
3
；
…
依此类推，则a
2013
=
122
122
．
（2013·惠州二模）13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；21世纪33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
；
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100×n×（n+1）+21
100×n×（n+1）+21
．
（2013·高邮市二模）操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1．如：第一位同学报（
1
1
+1），第二位同学报（
1
2
+1），第三位同学报（
1
3
+1），…这样得到的100个数的积为
101
101
．
（2012·营口一模）观察：
a
1
=1-
1
3
，
a
2
=
1
2
-
1
4
，
a
3
=
1
3
-
1
5
，
a
4
=
1
4
-
1
6
，…，则a
n
=
2
n(n+2)
2
n(n+2)
（n=1，2，3，…）．
对于正数x，规定f（x）=
x
2
1+
x
2
，
（1）计算f（2）=
4
5
4
5
；f（
1
2
）=
1
5
1
5
；f（2）+f（
1
2
）=
1
1
；f（3）+f（
1
3
）=
1
1
；…
（2）猜想f（x）+
f(
1
x
)
=
1
1
，请予以证明．
（3）现在你会计算
f(
1
2010
)
+f（
1
2009
）+f（
1
2008
）+f（
1
2007
）+f（
1
2006
）+…f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）的值了吗，写出你的计算过程．
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