试题

题目：
对于正数x，规定f（x）=
x2
1+x2
，
（1）计算f（2）=
4
5
4
5
；f（
1
2
）=
1
5
1
5
；f（2）+f（
1
2
）=
1
1
；f（3）+f（
1
3
）=
1
1
；…
（2）猜想f（x）+f(
1
x
)=
1
1
，请予以证明．
（3）现在你会计算f(
1
2010
)+f（
1
2009
）+f（
1
2008
）+f（
1
2007
）+f（
1
2006
）+…f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）的值了吗，写出你的计算过程．
答案
4
5

1
5

1

1

1

解：（1）f（2）=
4
5
；f（
1
2
）=
1
5
；f（2）+f（
1
2
）=1；f（3）+f（
1
3
）=1；

（2）f（x）+f(
1
x
)=1；
证明：f（x）+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
1
x2
1+
1
x2
=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=
1+x2
1+x2
=1．

（3）原式=[f(
1
2010
)+f（2010）]+[f（
1
2009
）+f（2009）]+[f（
1
2008
）+f（2008）]+[f（
1
2007
）+f（2007）]+[f（
1
2006
）+f（2006）]+…+[f（
1
3
）+f（3）]+[f（
1
2
）+f（2）]+f（1）=2009+
1
2
=2009
1
2
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）将x=2，
1
2
，3，
1
3
代入f（x）=
x2
1+x2
，计算即可；
（2）对（1）的结果进行分析，找出其规律；
（3）利用f（x）+f(
1
x
)=1，先计算f（1）=
1
2
；f（2）+f（
1
2
）=1；f（3）+f（
1
3
）=1；…f（2010）+f（
1
2010
）=1，再求和即可．
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．根据题中所给的材料获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本技能．
规律型．
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