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在直角坐标系中，y=x2+ax+2a与x轴交于A，B两点，点E（2，0）绕点O顺时针旋转90°后的对应点C在此抛物线上，点P（4，2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点F是线段AC上一动点，作矩形FC1B1A1，使C1在CB上，B1，A1在AB上，设线段A1F的长为a，求矩形FC1B1A1的面积S与a的函数关系式，并求S的最大值；
（3）如图2，在（1）的抛物线上是否存在两个点M，N，使以O，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+（m+1）x+3m与直线y=-x+3交于A、C两点；点P从原点O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于D，交AC于
E，设点P运动的时间为x（秒），四边形AOCD的面积为S．
（1）求点A、C的坐标，并求此抛物线的解析式；
（2）求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在点P，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． -
已知抛物线y=ax2-2ax+n（a＞0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴的负半轴于点C，且x1＜x2，OC=OB，S△ABC=6
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若D为抛物线的顶点，P为抛物线上的点，且在第二象限，S△PBD=15，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M，使△MBD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．
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如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），AB⊥x轴，垂足为点B，连接OA，抛物
线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线AB交于点P，抛物线的顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；并求出此时抛物线的解析式．
（3）在②前提下，在直线AB上是否存在点N，使△PMN是等腰三角形？若存在，直接写出满足条件的N点坐标；
（4）探究：当线段PB最短时，在相应的抛物线上是否存在点Q（与P不重合），使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标． -
某抛物线是由抛物线y=-2x2向左平移2个单位得到．
（1）求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；
（2）设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B．
①求线段AB的长及直线AB的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出这样的点C的坐标；若不存在，请说明理由． -
已知抛物线y=ax2-2x+c与它的对称轴相交于点A（1，-4），与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线AC交x于D，P是直线AC上一动点，当△PBD的面积等于18时，求点P的坐标． -
点A（4，m），B（n，-3）在直线y=x-5上．
（1）试求点A、点B坐标；
（2）若一抛物线过A，B且以y轴为对称轴，求该抛物线解析式；
（3）现有一开口向下，形状与（2）中抛物线相同的新抛物线沿x轴水平移动，交x轴于C，D两点（C左D右），且CD=3．试求当四边形ABCD周长最小时的新抛物线的解析式． -
（2006·大连）如图，抛物线E：y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点．
（1）求F的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将抛物线E的解析式改为y=ax2+bx+c，试探索问题（2）． -
（2006·长春）如图，P为抛物线y=
x2-3 4
x+3 2
上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．1 4 -
（2005·遵义）如图，点P在x正半轴上，以P为圆心的⊙P与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，⊙P的半径是4，CD=4
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（1）过点C作⊙P的切线交x轴于点E，求点E的坐标；
（2）若
=n，求满足下列二个条件的抛物线的解析式：S△CBO S△PCO
①过点P、E；
②抛物线的顶点到x轴的距离为n．