试题

在直角坐标系中，y=x²+ax+2a与x轴交于A，B两点，点E（2，0）绕点O顺时针旋转90°后的对应点C在此抛物线上，点P（4，2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点F是线段AC上一动点，作矩形FC₁B₁A₁，使C₁在CB上，B₁，A₁在AB上，设线段A₁F的长为a，求矩形FC₁B₁A₁的面积S与a的函数关系式，并求S的最大值；
（3）如图2，在（1）的抛物线上是否存在两个点M，N，使以O，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点E（2，0）绕点O顺时针旋转90°后对应点是点C，
∴C（0，-2）；
代入抛物线的解析式中，得：
2a=-2，
即a=-1；
∴该抛物线的解析式为：y=x²-x-2．

（2）易知：A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）；
则AB=3，OC=2．
∵四边形A₁B₁C₁F是矩形，则FC₁∥AB，
∴△CC₁F∽△CBA，
得：

2-a

2

=

FC1

3

，
故FC₁=

3

2

（2-a）；
∴S=A₁F·FC₁=a×

3

2

（2-a）=-

3

2

（a²-2a）；
即：S=-

3

2

（a-1）²+

3

2

，
即当a=1时，S_最大=

3

2

．

（3）假设存在符合条件的M、N点，则：
①以OP为平行四边形的边长；
设M（a，a²-a-2），则N（a-4，a²-a-4）；
由于N点在抛物线的图象上，
（a-4）²-（a-4）-2=a²-a-4，
解得a=

11

4

，
故M（

11

4

，

45

16

），N（-

5

4

，

13

16

）；
②以OP为平行四边形对角线：先求出OP中点坐标为（2，1），
设M（a，a²-a-2），则N（4-a，-a²+a+4）；
将N点坐标代入抛物线解析式，
得：（4-a）²-（4-a）-2=-a²+a+4，
解得a=3或1，
则M，N的坐标分别为（3，4），（1，-2）或（1，-2），（3，4）；
因此存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：
M（

11

4

，

45

16

），N（-

5

4

，

13

16

）或M（-

5

4

，

13

16

），N（

11

4

，

45

16

）或M（3，4），N（1，-2）或M（1，-2），N（3，4）．
解：（1）∵点E（2，0）绕点O顺时针旋转90°后对应点是点C，
∴C（0，-2）；
代入抛物线的解析式中，得：
2a=-2，
即a=-1；
∴该抛物线的解析式为：y=x²-x-2．

（2）易知：A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）；
则AB=3，OC=2．
∵四边形A₁B₁C₁F是矩形，则FC₁∥AB，
∴△CC₁F∽△CBA，
得：

2-a

2

=

FC1

3

，
故FC₁=

3

2

（2-a）；
∴S=A₁F·FC₁=a×

3

2

（2-a）=-

3

2

（a²-2a）；
即：S=-

3

2

（a-1）²+

3

2

，
即当a=1时，S_最大=

3

2

．

（3）假设存在符合条件的M、N点，则：
①以OP为平行四边形的边长；
设M（a，a²-a-2），则N（a-4，a²-a-4）；
由于N点在抛物线的图象上，
（a-4）²-（a-4）-2=a²-a-4，
解得a=

11

4

，
故M（

11

4

，

45

16

），N（-

5

4

，

13

16

）；
②以OP为平行四边形对角线：先求出OP中点坐标为（2，1），
设M（a，a²-a-2），则N（4-a，-a²+a+4）；
将N点坐标代入抛物线解析式，
得：（4-a）²-（4-a）-2=-a²+a+4，
解得a=3或1，
则M，N的坐标分别为（3，4），（1，-2）或（1，-2），（3，4）；
因此存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：
M（

11

4

，

45

16

），N（-

5

4

，

13

16

）或M（-

5

4

，

13

16

），N（

11

4

，

45

16

）或M（3，4），N（1，-2）或M（1，-2），N（3，4）．