试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+（m+1）x+3m与直线y=-x+3交于A、C两点；点P从原点O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于D，交AC于E，设点P运动的时间为x（秒），四边形AOCD的面积为S．
（1）求点A、C的坐标，并求此抛物线的解析式；
（2）求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在点P，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，则y=3；
令y=0则x=3，
故A（0，3），C（3，0），
把A（0，3）代入抛物线的解析式
得3m=3，m=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵m=1
∴y=-x²+2x+3，
∴AO=3，
点D（x，-x²+2x+3），连接OD，
∵OC=3，
∴S=S_△AOD+S_△DOC=

1

2

×3x+

1

2

×（-x²+2x+3）=-

3

2

x²+

9

2

x+

9

2

，
∴S与x的函数关系式S=-

3

2

x²+

9

2

x+

9

2

（0＜x＜3），
当x=-

b

2a

=

3

2

符合（0＜x＜3），
S_最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(- 3 2 × 9 2 -( 9 2 )2)

4×(- 3 2 )

=

63

8

，

（3）∵OA=OC=3，
∴△AOC为等腰Rt△，
∴∠ECP=45°，
∴EP=PC=3-x，
假设存在点P，使AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论：
（ⅰ）当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，DE=2EP，
∴DP=3EP，
即-x²+2x+3=3（-x+3）
整理得：x²-5x+6=0，
解得；x₁=2x₂=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（2，0）；
（ⅱ）当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，DE=

1

2

EP，
∴DP=

3

2

EP，
即-x²+2x+3=

3

2

（-x+3），
整理得：2x²-7x+3=0，
解得：x₃=

1

2

，x₄=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（

1

2

，0），
综上所述，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1两部分的点P存在，点P的坐标是（2，0）或（

1

2

，0）．
（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，则y=3；
令y=0则x=3，
故A（0，3），C（3，0），
把A（0，3）代入抛物线的解析式
得3m=3，m=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵m=1
∴y=-x²+2x+3，
∴AO=3，
点D（x，-x²+2x+3），连接OD，
∵OC=3，
∴S=S_△AOD+S_△DOC=

1

2

×3x+

1

2

×（-x²+2x+3）=-

3

2

x²+

9

2

x+

9

2

，
∴S与x的函数关系式S=-

3

2

x²+

9

2

x+

9

2

（0＜x＜3），
当x=-

b

2a

=

3

2

符合（0＜x＜3），
S_最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(- 3 2 × 9 2 -( 9 2 )2)

4×(- 3 2 )

=

63

8

，

（3）∵OA=OC=3，
∴△AOC为等腰Rt△，
∴∠ECP=45°，
∴EP=PC=3-x，
假设存在点P，使AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论：
（ⅰ）当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，DE=2EP，
∴DP=3EP，
即-x²+2x+3=3（-x+3）
整理得：x²-5x+6=0，
解得；x₁=2x₂=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（2，0）；
（ⅱ）当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，DE=

1

2

EP，
∴DP=

3

2

EP，
即-x²+2x+3=

3

2

（-x+3），
整理得：2x²-7x+3=0，
解得：x₃=

1

2

，x₄=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（

1

2

，0），
综上所述，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1两部分的点P存在，点P的坐标是（2，0）或（

1

2

，0）．