试题

（2006·大连）如图，抛物线E：y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点．
（1）求F的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将抛物线E的解析式改为y=ax²+bx+c，试探索问题（2）．

解：（1）解法一：当y=0时，x²+4x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
∴A、B点坐标分别为（-3，0）、（-1，0）；
当x=0时，y=3，
∴M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，
∴D、C坐标为（3，0）、（1，0）；
设F的解析式为y=ax²+bx+3，则有：

0=9a+3b+3 0=a+b+3

，
∴a=1，b=-4
∴抛物线F的解析式为y=x²-4x+3．
解法二：∵抛物线E与抛物线F关于y轴对称，且抛物线E：y=x²+4x+3，
∴抛物线F的方程是：y=（-x）²+4×（-x）+3=x²-4x+3，即
抛物线F的解析式为y=x²-4x+3；

（2）存在．假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为3．
若在抛物线F上，当y=3时，3=x²-4x+3，则x₁=0，x₂=4
∴N点坐标为（4，3），
∴MN=4，
由（1）可求AC=4，
∴MN=AC，
∴四边形ACNM为平行四边形．
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（4，3）或（-4，3）．

（3）存在．假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为c．设y=0，
∴ax²+bx+c=0
∴x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴A点坐标为（

-b- b2-4ac

2a

，0），
B点坐标为（

-b+ b2-4ac

2a

，0）
∴C点坐标为（

b- b2-4ac

2a

，0），
∴AC=

b

a

在抛物线E上，当y=c时，c=ax²+bx+c，x₁=0，x₂=-

b

a

∴N点坐标为（-

b

a

，c）
NM=0-（-

b

a

）=

b

a

，
∴NM=AC，
∴四边形ACMN为平行四边形．
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（-

b

a

，c）或（

b

a

，c）．
解：（1）解法一：当y=0时，x²+4x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
∴A、B点坐标分别为（-3，0）、（-1，0）；
当x=0时，y=3，
∴M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，
∴D、C坐标为（3，0）、（1，0）；
设F的解析式为y=ax²+bx+3，则有：

0=9a+3b+3 0=a+b+3

，
∴a=1，b=-4
∴抛物线F的解析式为y=x²-4x+3．
解法二：∵抛物线E与抛物线F关于y轴对称，且抛物线E：y=x²+4x+3，
∴抛物线F的方程是：y=（-x）²+4×（-x）+3=x²-4x+3，即
抛物线F的解析式为y=x²-4x+3；

（2）存在．假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为3．
若在抛物线F上，当y=3时，3=x²-4x+3，则x₁=0，x₂=4
∴N点坐标为（4，3），
∴MN=4，
由（1）可求AC=4，
∴MN=AC，
∴四边形ACNM为平行四边形．
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（4，3）或（-4，3）．

（3）存在．假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为c．设y=0，
∴ax²+bx+c=0
∴x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴A点坐标为（

-b- b2-4ac

2a

，0），
B点坐标为（

-b+ b2-4ac

2a

，0）
∴C点坐标为（

b- b2-4ac

2a

，0），
∴AC=

b

a

在抛物线E上，当y=c时，c=ax²+bx+c，x₁=0，x₂=-

b

a

∴N点坐标为（-

b

a

，c）
NM=0-（-

b

a

）=

b

a

，
∴NM=AC，
∴四边形ACMN为平行四边形．
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（-

b

a

，c）或（

b

a

，c）．