数学
(2010·厦门)在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点P(m,-1)(m>0).连接OP,将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM,且点M是抛物线y=ax
2
+bx+c的顶点.
(1)若m=1,抛物线y=ax
2
+bx+c经过点(2,2),当0≤x≤1时,求y的取值范围;
(2)已知点A(1,0),若抛物线y=ax
2
+bx+c与y轴交于点B,直线AB与抛物线y=ax
2
+bx+c有且只有一个交点,请判断△BOM的形状,并说明理由.
(2010·潍坊)如图所示,抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).以AB为直径作⊙M,过抛物线上一点P作⊙M的切线PD,切点为D,并与⊙M的切线AE相交于点E,连接DM并延长交⊙M于点N,连接AN、AD.
(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标;
(2)若四边形EAMD的面积为
4
3
,求直线PD的函数关系式;
(3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(2010·苏州)如图,以A为顶点的抛物线与y轴交于点B、已知A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设M(m,n)是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M的坐标;
(3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P,PA
2
+PB
2
+PM
2
>28是否总成立?请说明理由.
(2010·顺义区)已知:抛物线y=(k-1)x
2
+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点.
(1)求k的取值范围;
(2)当k为整数,且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形,使得正方形的一边在x轴上,其对边的两个端点在抛物线上,试求出这个最大正方形的边长?
(2010·宁德)如图1,抛物线
y=-
1
4
x
2
+
1
4
x+3
与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点,与直线y=kx+b交于A、D两点.
(1)直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式;
(2)如图2,质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字-1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次,把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标,第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标.则点P(m,n)落在图1中抛物线与直线围成区域内(图中阴影部分,含边界)的概率是多少?
(2010·南宁)如图,把抛物线y=-x
2
(虚线部分)向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得出抛物线l
1
,抛物线l
2
与抛物线l
1
关于y轴对称.点A,O,B分别是抛物线l
1
,l
2
与x轴的交点,D,C分别是抛物线l
1
,l
2
的顶点,线段CD交y轴于点E.
(1)分别写出抛物线l
1
与l
2
的解析式;
(2)设P使抛物线l
1
上与D,O两点不重合的任意一点,Q点是P点关于y轴的对称点,试判断以P,Q,C,D为顶点的四边形是什么特殊的四边形?请说明理由.
(3)在抛物线l
1
上是否存在点M,使得S
△ABM
=S
四边形AOED
?如果存在,求出M点的坐
标;如果不存在,请说明理由.
(2010·密云县)如图,将腰长为
5
的等腰Rt△ABC(∠C是直角)放在平面直角坐标系中的第二象限,其
中点A在y轴上,点B在抛物线y=ax
2
+ax-2上,点C的坐标为(-1,0).
(1)点A的坐标为
(0,2)
(0,2)
,点B的坐标为
(-3,1)
(-3,1)
;
(2)抛物线的关系式为
y=
1
2
x
2
+
1
2
x-2
y=
1
2
x
2
+
1
2
x-2
,其顶点坐标为
(-
1
2
,-
17
8
)
(-
1
2
,-
17
8
)
;
(3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB′C′的位置.请判断点B′、C′是否在(2)中的抛物线上,并说明理由.
如图:直线y=-
2
3
x+4m(常数m>0)交x轴于A点、交y轴于B点,四边形AOBC是以OA、OB为边的梯形,OA∥BC.将梯形AOBC逆时针旋转90°到A
1
OB
1
C
1
,连接B
1
C交y轴于D.(如图)
(1)请指出A
1
、B
1
的坐标.(用含m的代数式表示)
(2)当A
1
DB
1
C
1
为平行四边形时,求C点的坐标.(用含m的代数式表示)
(3)若抛物线y=ax
2
+bx+c在(2)的条件下过A、B、C三点且与线段B
1
C另一交点为E,连接A
1
E,求:S
△A1DE
:S
四边形AOBC
的值.
如图,菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°,以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系.动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动,同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动,当点P到达终点时停止运动,运动时间为t,直线PQ交边AD于点E.
(1)求出经过A、D、C三点的抛物线解析式;
(2)是否存在时刻t使得PQ⊥DB,若存在请求出t值,若不存在,请说明理由;
(3)设AE长为y,试求y与t之间的函数关系式;
(4)若F、G为DC边上两点,且点DF=FG=1,试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N,使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值.
如图,直线l:
y=
1
3
x+
1
4
经过点M,一组抛物线的顶点B
1
(1,y),B
2
(2,y
2
),B
3
(3,y
3
),…,B
n
(n,y
n
)(n为正整数)依次是直线l上的点,这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:A
1
(x
1
,0),A
2
(x
2
,0),A
3
(x
3
,0),…
A
n+1
(x
n+1
,0)(n为正整数),设x
1
=d(0<d<1).
(1)求经过点A
1
、B
1
、A
2
的抛物线的解析式(用含d的代数式表示);
(2)若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”,那么当d的大小在0<d<1范围内变化时,这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在,请求出相应的d的值,若不存在,请说明理由.
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