试题

如图，直线l：y=

1

3

x+

1

4

经过点M，一组抛物线的顶点B₁（1，y），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…，B_n（n，y_n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0）（n为正整数），设x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；
（2）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”，那么当d的大小在0＜d＜1范围内变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得：y=

1

3

x+

1

4

，
∵B₁（1，y₁）在直线l上，
∴当x=1时，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

，
故可得B₁的坐标为（1，

7

12

），
设抛物线表达式为：y=a（x-1）²+

7

12

（a≠0），
又∵x₁=d，
∴A₁的坐标为（d，0），
∴0=a（d-1）²+

7

12

，
∴a=-

7

12(d-1)2

，
∴经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式为：y=-

7

12(d-1)2

（x-1）²+

7

12

．
（2）存在美丽抛物线．
由（1）可得B₁（1，

7

12

），B₂（2，

11

12

），
∵A₁（d，0），
∴A₂（2-d，0），
①若B₁为直角顶点，则A₁A₂的中点（1，0）到B₁的距离与到A₁和A₂的距离相等，
即：1-d=

7

12

，
解得：d=

5

12

；
②若B₂为直角顶点，则A₂A₃的中点（2，0）到B₂的距离与到A₃和A₂的距离相等，
即：2-（2-d）=

11

12

，
解得：d=

11

12

；
③若B₃为直角顶点，求出的d为负数，并且从B₃之后的B点，求出的d都为负数；
综上可得存在d，d的值为

5

12

或

11

12

．
解：（1）由题意得：y=

1

3

x+

1

4

，
∵B₁（1，y₁）在直线l上，
∴当x=1时，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

，
故可得B₁的坐标为（1，

7

12

），
设抛物线表达式为：y=a（x-1）²+

7

12

（a≠0），
又∵x₁=d，
∴A₁的坐标为（d，0），
∴0=a（d-1）²+

7

12

，
∴a=-

7

12(d-1)2

，
∴经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式为：y=-

7

12(d-1)2

（x-1）²+

7

12

．
（2）存在美丽抛物线．
由（1）可得B₁（1，

7

12

），B₂（2，

11

12

），
∵A₁（d，0），
∴A₂（2-d，0），
①若B₁为直角顶点，则A₁A₂的中点（1，0）到B₁的距离与到A₁和A₂的距离相等，
即：1-d=

7

12

，
解得：d=

5

12

；
②若B₂为直角顶点，则A₂A₃的中点（2，0）到B₂的距离与到A₃和A₂的距离相等，
即：2-（2-d）=

11

12

，
解得：d=

11

12

；
③若B₃为直角顶点，求出的d为负数，并且从B₃之后的B点，求出的d都为负数；
综上可得存在d，d的值为

5

12

或

11

12

．