试题

如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；
（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．

解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6
则：D到y轴的距离=

1

2

AB=3、D到x轴的距离=DA·sin∠DAB=3

3

；
∴D（3，3

3

）；
由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3

3

）；
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx，有：

a×32+b×3=3 3 a×92+b×9=3 3

，解得

a=- 1 9 3 b= 4 3 3

∴抛物线解析式为：y=-

1

9

3

x²+

4

3

3

x．

（2）如图1，连接AC知AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，那么P在BC上时不存在符合要求的t值，
当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，
所以四边形PCAQ是平行四边形，
则PC=AQ，有6-2t=t，得t=2．

（3）①如图1，当点P在DC上，即0≤t≤3时，
有△EDP∽△EAQ，
则

AE

DE

=

AQ

DP

=

t

2t

=

1

2

，
那么AE=

1

3

AD=2，即y=2；
②如图2，当点P在CB上，
即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，
则

AE

PB

=

AQ

QB

，即

AE

12-2t

=

t

6+t

，
得y=

2t(6-t)

6+t

，
综上所述：y=

2(0≤t≤3) 2t(6-t) 6+t (3＜t≤6)

，

（4）如图3，作点F关于直线DB的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA上，用DF′=DF=1；
作点G关于抛物线ADC对称轴的对称点G′，
易求DG′=4，
连接F′G′交DB于点M、交对称轴于点N，点M、N即为所求的两点．
过F′作F′H⊥DG′于H，
在Rt△F′HD中，∠F′DH=180°-∠ADC=60°，F′D=1；
则：F′H=F′D·sin60°=

3

2

，HD=F′D·cos60°=

1

2

，HG′=HD+DG′=

9

2

．
用勾股定理计算得F′G′=

21

，所以四边形FMNG周长最小为F′G′+FG=

21

+1．
解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6
则：D到y轴的距离=

1

2

AB=3、D到x轴的距离=DA·sin∠DAB=3

3

；
∴D（3，3

3

）；
由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3

3

）；
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx，有：

a×32+b×3=3 3 a×92+b×9=3 3

，解得

a=- 1 9 3 b= 4 3 3

∴抛物线解析式为：y=-

1

9

3

x²+

4

3

3

x．

（2）如图1，连接AC知AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，那么P在BC上时不存在符合要求的t值，
当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，
所以四边形PCAQ是平行四边形，
则PC=AQ，有6-2t=t，得t=2．

（3）①如图1，当点P在DC上，即0≤t≤3时，
有△EDP∽△EAQ，
则

AE

DE

=

AQ

DP

=

t

2t

=

1

2

，
那么AE=

1

3

AD=2，即y=2；
②如图2，当点P在CB上，
即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，
则

AE

PB

=

AQ

QB

，即

AE

12-2t

=

t

6+t

，
得y=

2t(6-t)

6+t

，
综上所述：y=

2(0≤t≤3) 2t(6-t) 6+t (3＜t≤6)

，

（4）如图3，作点F关于直线DB的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA上，用DF′=DF=1；
作点G关于抛物线ADC对称轴的对称点G′，
易求DG′=4，
连接F′G′交DB于点M、交对称轴于点N，点M、N即为所求的两点．
过F′作F′H⊥DG′于H，
在Rt△F′HD中，∠F′DH=180°-∠ADC=60°，F′D=1；
则：F′H=F′D·sin60°=

3

2

，HD=F′D·cos60°=

1

2

，HG′=HD+DG′=

9

2

．
用勾股定理计算得F′G′=

21

，所以四边形FMNG周长最小为F′G′+FG=

21

+1．