试题

（2010·潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．以AB为直径作⊙M，过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E，连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN、AD．
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为4

3

，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，抛物线的函数关系式为：y=x²-2x-3，（2分）
又∵y=（x-1）²-4，
因此，抛物线的顶点坐标为（1，-4）；（3分）

（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的两条切线，
∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，
∴△EAM≌△EDM（HL），
又∵四边形EAMD的面积为4

3

，
∴S_△EAM=2

3

，
∴

1

2

AM·AE=2

3

，
又∵AM=2，
∴AE=2

3

，
因此，点E的坐标为E₁（-1，2

3

）或E₂（-1，-2

3

），（5分）
当E点在第二象限时，切点D在第一象限，
在直角三角形EAM中，tan∠EMA=

EA

AM

=

2 3

2

=

3

，
∴∠EMA=60°，
∴∠DMB=60°，
过切点D作DF⊥AB，垂足为点F，
∴MF=1，DF=

3

，
因此，切点D的坐标为（2，

3

），（6分）
设直线PD的函数关系式为y=kx+b，
将E（-1，2

3

），D（2，

3

）的坐标代入得

3 =2k+b 2 3 =-k+b

，
解之，得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直线PD的函数关系式为y=-

3

3

x+

5 3

3

，（7分）
当E点在第三象限时，切点D在第四象限，
同理可求：切点D坐标为（2，-

3

），
直线PD的函数关系式为y=

3

3

x-

5 3

3

，
因此，直线PD的函数关系式为y=-

3

3

x+

5 3

3

或y=

3

3

x-

5 3

3

；（8分）

（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，
又∵S_{四边形EAMD}=2S_△EAM，S_△DAN=2S_△AMD，
∴S_△AMD=S_△EAM，
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与⊙M相切，
∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2，（9分）
当y=2时，由y=x²-2x-3得，x=1±

6

；
当y=-2时，由y=x²-2x-3得，x=1±

2

，（11分）
故满足条件的点P的位置有4个，分别是P₁（1+

6

，2）、P₂（1-

6

，2）、P₃（1+

2

，-2）、P₄（1-

2

，-2）．（12分）
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数．
解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，抛物线的函数关系式为：y=x²-2x-3，（2分）
又∵y=（x-1）²-4，
因此，抛物线的顶点坐标为（1，-4）；（3分）

（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的两条切线，
∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，
∴△EAM≌△EDM（HL），
又∵四边形EAMD的面积为4

3

，
∴S_△EAM=2

3

，
∴

1

2

AM·AE=2

3

，
又∵AM=2，
∴AE=2

3

，
因此，点E的坐标为E₁（-1，2

3

）或E₂（-1，-2

3

），（5分）
当E点在第二象限时，切点D在第一象限，
在直角三角形EAM中，tan∠EMA=

EA

AM

=

2 3

2

=

3

，
∴∠EMA=60°，
∴∠DMB=60°，
过切点D作DF⊥AB，垂足为点F，
∴MF=1，DF=

3

，
因此，切点D的坐标为（2，

3

），（6分）
设直线PD的函数关系式为y=kx+b，
将E（-1，2

3

），D（2，

3

）的坐标代入得

3 =2k+b 2 3 =-k+b

，
解之，得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直线PD的函数关系式为y=-

3

3

x+

5 3

3

，（7分）
当E点在第三象限时，切点D在第四象限，
同理可求：切点D坐标为（2，-

3

），
直线PD的函数关系式为y=

3

3

x-

5 3

3

，
因此，直线PD的函数关系式为y=-

3

3

x+

5 3

3

或y=

3

3

x-

5 3

3

；（8分）

（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，
又∵S_{四边形EAMD}=2S_△EAM，S_△DAN=2S_△AMD，
∴S_△AMD=S_△EAM，
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与⊙M相切，
∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2，（9分）
当y=2时，由y=x²-2x-3得，x=1±

6

；
当y=-2时，由y=x²-2x-3得，x=1±

2

，（11分）
故满足条件的点P的位置有4个，分别是P₁（1+

6

，2）、P₂（1-

6

，2）、P₃（1+

2

，-2）、P₄（1-

2

，-2）．（12分）
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数．