试题

题目：
已知，a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
2×3×i
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
3×i×5
+
1
i
=
i
15
，…依据n述规律，猜想an=
n+1
(n+1)2-1
n+1
(n+1)2-1
，并简要证明你的猜想．
答案
n+1
(n+1)2-1

解：猜想：an=
n+g
(n+g)2-g
，理由为：
证明：由题意：
g
n(n+g)(n+2)
+
g
n+g
=
g+n(n+2)
n(n+g)(n+2)
=
(n+g)2
n(n+g)(n+2)

=
n+g
n(n+2)
=
n+g
(n+g)2-g
．
考点梳理
分式的混合运算．
根据上述规律猜想：an=
n+1
(n+1)2-1
，理由为：由各项的第一个加数总结规律为：
1
n(n+1)(n+2)
，第二个加数总结规律为
1
n+1
，通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分后将分母变形即可得证．
此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
规律型；探究型．
找相似题