试题

题目：
设n个正整数a1，a7，…，an，（其中n＞1），如果满足：
a1+a7+…+an=k
1
a1
+
1
a7
+…+
1
an
=1
，则称k是一个“好数”．
如：
7+7=4
1
7
+
1
7
=1&nssp;
，
7+3+6=11
1
7
+
1
3
+
1
6
=1&nssp;
，
7+4+6+17=74
1
7
+
1
4
+
1
6
+
1
17
=1
，因此4、11、74这三个数都是一个好数．
（1）请你举一个“好数”的例子，并说明理由．
（7）如果k是“好数”，7k+7是“好数”吗？为什么？
答案
解：（1）30为下个“好数”，理由为：
2+3+10+15=30
1
2
+
1
3
+
1
10
+
1
15
=1
，
因此30为下个“好数”；

（2）3果k是“好数”，则有：
a1+a2+…+an=k
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=1
，
则2a1+2a2+…+2an+2=2k+2，
则
1
2a1
+
1
2a2
+…+
1
2an
+
1
2
=
1
2
+
1
2
=1，
故2k+2也是“好数”．
解：（1）30为下个“好数”，理由为：
2+3+10+15=30
1
2
+
1
3
+
1
10
+
1
15
=1
，
因此30为下个“好数”；

（2）3果k是“好数”，则有：
a1+a2+…+an=k
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=1
，
则2a1+2a2+…+2an+2=2k+2，
则
1
2a1
+
1
2a2
+…+
1
2an
+
1
2
=
1
2
+
1
2
=1，
故2k+2也是“好数”．
考点梳理
分式的混合运算．
（1）30为一个“好数”，理由为：2+3+10+15=30，且
1
2
+
1
3
+
1
10
+
1
15
=1，根据题中的新定义得到30为一个“好数”；
（2）根据“好数”的定义得到2a1+2a2+…+2an+2=2k+2，
1
2a1
+
1
2a2
+…+
1
2an
+
1
2
=
1
2
+
1
2
=1，依此即可作出判断．
本题主要考查“好数”的定义，解答本题的关键是掌握“好数”的定义的知识，本题（2）中得到2a1+2a2+…+2an+2=2k+2是本题的难点，此题难度较大．
新定义．
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