试题

如果

a

b+c+d

=

b

a+c+d

=

c

a+b+d

=

d

a+b+c

=k，试求k的值．

解：∵

a

b+c+d

=

b

a+c+d

=

c

a+b+d

=

d

a+b+c

=k，
∴a=（b+c+d）k，①
b=（a+c+d）k，②
c=（a+b+d）k，③
d=（a+b+c）k，④
∴①+②+③+④得，a+b+c+d=k（3a+3b+3c+3d），
当a+b+c+d=0时，
∴b+c+d=-a，
∵a=（b+c+d）k，
∴a=-ak
∴k=-1，
当a+b+c+d≠0时，∴两边同时除以a+b+c+d得，3k=1，
∴k=

1

3

．
故答案为：k=-1或

1

3

．
解：∵

a

b+c+d

=

b

a+c+d

=

c

a+b+d

=

d

a+b+c

=k，
∴a=（b+c+d）k，①
b=（a+c+d）k，②
c=（a+b+d）k，③
d=（a+b+c）k，④
∴①+②+③+④得，a+b+c+d=k（3a+3b+3c+3d），
当a+b+c+d=0时，
∴b+c+d=-a，
∵a=（b+c+d）k，
∴a=-ak
∴k=-1，
当a+b+c+d≠0时，∴两边同时除以a+b+c+d得，3k=1，
∴k=

1

3

．
故答案为：k=-1或

1

3

．