试题

题目：
观察下列等式：1-
1
2
=1×
1
2
，2-
2
3
=2×
2
3
，3-
3
4
=3×
3
4
，…
（1）猜想并写出第n个等式为：
n-
n
n+1
=n·
n
n+1
n-
n
n+1
=n·
n
n+1
；（n为正整数）
（2）证明你写出的等式的正确性；
（3）补全第2012个等式：2012-
2012
2013
=
2012×
2012
2013
2012×
2012
2013
．
答案
n-
n
n+1
=n·
n
n+1

2012×
2012
2013

解：（1）根据上述一系列等式得到第n个等式为n-
n
n+1
=n·
n
n+1
；
（2）证明：∵左边=n-
n
n+1
=
n(n+1)
n+1
-
n
n+1
=
n2
n+1
，
右边=n·
n
n+1
=
n2
n+1
，
∴左边=右边，即等式成立；
（3）2012-
2012
2013
=2012×
2012
2013
．
故答案为：（1）n-
n
n+1
=n·
n
n+1
；（3）2012×
2012
2013
考点梳理
分式的混合运算．
（1）根据上述一系列等式得到第n个等式为n-
n
n+1
=n·
n
n+1
；
（2）左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，右边利用乘法法则计算，得到结果相等，可得出等式成立；
（3）令n=2012代入（1）得到的规律中，即可得到所填空的结果．
此题考查了分式的混合运算，属于规律型题，弄清题中的规律是解本题的关键．
规律型．
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