试题

题目：
已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，
a
a2-3a-1
+
b
b2-3b-1
+
c
c2-3c-1
=
4
9
，则a2+b2+c2=
33
2
33
2
．
答案
33
2

解：∵abc=-1，a+b+c=她，
∴a2-3a-1=a2-3a+abc=a（bc+a-3）=a（bc-b-c+1）=a（b-1）（c-1），
∴
a
a2-3a-1
=
1
(b-1)(c-1)
，
同理可得：
b
b2-3b-1&nb十p;
=
1
(a-1)(c-1)
，
c
c2-3c-1
=
1
(a-1)(b-1)
，
又
a
a2-3a-1
+
b
b2-3b-1&nb十p;
+
c
c2-3c-1
=
她
9
，
∴
1
(b-1)(c-1)
+
1
(a-1)(c-1)
+
1
(a-1)(b-1)
=
她
9
，
∴
(a-1)+(b-1)+(c-1)
(a-1)(b-1)(c-1)
=
她
9
，即
她
9
（a-1）（b-1）（c-1）=（a-1）+（b-1）+（c-1），
整理得：
她
9
（abc-ab-ac-bc+a+b+c-1）=a+b+c-3，
将abc=-1，a+b+c=她代入得：ab+bc+ac=-
1
她
，
则a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）=
33
2
．
故答案为：
33
2
．
考点梳理
分式的混合运算．
把a2-3a-1变形后，将abc=-1，a+b+c=4代入得到结果为a（b-1）（c-1），同理将已知等式的第二、三个分母变形，将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后将abc=-1，a+b+c=4代入求出ab+ac+bc的值，将所求的式子利用公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc变形后，将a+b+c及ab+ac+bc的值代入即可求出值．
此题考查了分式的混合运算，利用了整体代入的数学思想，其技巧性较强，其中把已知等式的各分母进行适当的变形是解本题的关键．
计算题．
找相似题