试题

题目：
已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足
2a2
1+a2
=b，
2b2
1+b2
=c，
2c2
1+c2
=a.
求：三角形的面积．
答案
解：∵
2a2
1+a2
=b，
2b2
1+b2
=c，
2c2
1+c2
=a
解法1：b-c=
2a2
1+a2
-
2b2
1+b2
=
2(a+b)(a-b)
(1+a2)(1+b2)

∴当a≥b时有b≥c，即a≥b≥c
同理可得：c-a=
2(b+c)(b-c)
(1+c2)(1+b2)
即b≥c≥a
同理可得：a-b=
2(c+a)(c-a)
(1+c2)(1+a2)
即c≥a≥b
∴a=b=c=1．
解法2：
∵
1+a2
2a2
=
1
b
=
1
2a2
+
1
2
，
∴
1
b
=
1
2
(1+
1
a2
)，
1
c
=
1
2
(1+
1
b2
)，
1
a
=
1
2
(1+
1
c2
)，
∴1+
1
a2
-
2
b
+1+
1
b2
-
2
c
+1+
1
c2
-
2
a
，
=(1-
1
a
)2+(1-
1
b
)2+(1-
1
c
)2
=0

∴
1
a
=
1
b
=
1
c
=1，
∴a=b=c=1，
∴S△ABC=
3
4
．
解：∵
2a2
1+a2
=b，
2b2
1+b2
=c，
2c2
1+c2
=a
解法1：b-c=
2a2
1+a2
-
2b2
1+b2
=
2(a+b)(a-b)
(1+a2)(1+b2)

∴当a≥b时有b≥c，即a≥b≥c
同理可得：c-a=
2(b+c)(b-c)
(1+c2)(1+b2)
即b≥c≥a
同理可得：a-b=
2(c+a)(c-a)
(1+c2)(1+a2)
即c≥a≥b
∴a=b=c=1．
解法2：
∵
1+a2
2a2
=
1
b
=
1
2a2
+
1
2
，
∴
1
b
=
1
2
(1+
1
a2
)，
1
c
=
1
2
(1+
1
b2
)，
1
a
=
1
2
(1+
1
c2
)，
∴1+
1
a2
-
2
b
+1+
1
b2
-
2
c
+1+
1
c2
-
2
a
，
=(1-
1
a
)2+(1-
1
b
)2+(1-
1
c
)2
=0

∴
1
a
=
1
b
=
1
c
=1，
∴a=b=c=1，
∴S△ABC=
3
4
．
考点梳理
分式的混合运算；三角形的面积．
计算b-c、c-a、a-b，可得a≥b≥c、b≥c≥a、c≥a≥b，则a=b=c=1，根据等边三角形的面积公式求解．
此题根据分式的混合运算求三角形的面积，难度较大，要充分利用已知条件．
综合题．
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