试题

题目：
对于x＞0，规定f（x）=
x
x+1
，例如f（2）=
2
2+1
=
2
3
，f（
1
2
）=
1
2
1
2
+1
=
1
3
，那么f（
1
2011
）+f（
1
2010
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=
2010.5
2010.5
．
答案
2010.5

解：原式=
1
2012
+
1
2011
+…+
1
3
+
1
2
+
2
3
+…+
2011
2012
=1×2010+
1
2
=2010.5．
故答案是2010.5．
考点梳理
分式的混合运算．
根据f（2）=
2
2+1
=
2
3
可知f（x）=
x
x+1
，根据f（
1
2
）=
1
2
1
2
+1
=
1
3
可知f（
1
x
）=
1
x+1
，以此类推可分别求f（
1
2011
）、f（
1
2010
）、…、f（
1
3
）、f（
1
2
）、f（1）、f（2）、…f（2011）的值，再把结果相加，又发现除
1
2
外，其它的数能两两组成1，据此可知有
2012-3+1
2
个1，进而可求出答案．
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是寻找规律，比如：根据f（x）=
x
x+1
来计算正整数时的值；根据知f（
1
x
）=
1
x+1
来计算分数时的值，再根据结果可发现以
1
2
为对称中心的两个数相加等于1．
规律型．
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