试题

已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a²+b²+c²=10a+24b+26c-338．
（1）试判断三角形的形状；
（2）求三角形最长边上的高．

解：（1）∵a²+b²+c²=10a+24b+26c-338
∴a²-10a+b²-24b+c²-26c+338=0
a²-10a+25+b²-24b+144+c²-26c+169=0
（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=0（2分）
∴（a-5）²=0，（b-12）²=0，（c-13）²=0
∴a=5，b=12，c=13（3分）
∴a²+b²=c²=169
∴△ABC是直角三角形；（4分）

（2）△ABC最长边为c，
设c上的高为h．
S_△ABC=

1

2

ab
=

1

2

×5×12
=30，
又∵S_△ABC=

1

2

ch=30

1

2

·13h=30，
∴h=

60

13

．（7分）
解：（1）∵a²+b²+c²=10a+24b+26c-338
∴a²-10a+b²-24b+c²-26c+338=0
a²-10a+25+b²-24b+144+c²-26c+169=0
（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=0（2分）
∴（a-5）²=0，（b-12）²=0，（c-13）²=0
∴a=5，b=12，c=13（3分）
∴a²+b²=c²=169
∴△ABC是直角三角形；（4分）

（2）△ABC最长边为c，
设c上的高为h．
S_△ABC=

1

2

ab
=

1

2

×5×12
=30，
又∵S_△ABC=

1

2

ch=30

1

2

·13h=30，
∴h=

60

13

．（7分）