试题

在边长为4的正方形ABCD中，E是AD中点，F为DC上一点，且DF=

1

4

DC，猜想BE与EF的关系？并说明理由．

解：猜想：BE⊥EF且BE=2EF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴由勾股定理得：BE=

AE2 +A B2

=2

5

，
同理在直角三角形DEF中，DE=2，DF=1，EF=

5

，
∵2，

BE

EF

=

2 5

5

=2，

AB

DE

=2，
∴

AE

DF

=

BE

EF

=

AB

DE

，
∴△ABE∽△DEF．
∴∠ABE=∠DEF．
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠BEF=90°，
∴BE⊥EF且BE=2EF．
解：猜想：BE⊥EF且BE=2EF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴由勾股定理得：BE=

AE2 +A B2

=2

5

，
同理在直角三角形DEF中，DE=2，DF=1，EF=

5

，
∵2，

BE

EF

=

2 5

5

=2，

AB

DE

=2，
∴

AE

DF

=

BE

EF

=

AB

DE

，
∴△ABE∽△DEF．
∴∠ABE=∠DEF．
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠BEF=90°，
∴BE⊥EF且BE=2EF．