试题

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面积．

（1）证明：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；

（2）解：∵AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
又∵∠AOD和∠BOD为对顶角
∴△AOD∽△COB，
∴

OA

OC

=

OD

OB

=

AD

BC

=

2

3

，
∴OA=

2

5

AC=

2

5

×4=

8

5

，OB=

3

5

BD=

3

5

×3=

9

5

，
∴S_△AOB=

1

2

OA·OB=

1

2

×

8

5

×

9

5

=

36

25

．
（1）证明：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；

（2）解：∵AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
又∵∠AOD和∠BOD为对顶角
∴△AOD∽△COB，
∴

OA

OC

=

OD

OB

=

AD

BC

=

2

3

，
∴OA=

2

5

AC=

2

5

×4=

8

5

，OB=

3

5

BD=

3

5

×3=

9

5

，
∴S_△AOB=

1

2

OA·OB=

1

2

×

8

5

×

9

5

=

36

25

．