试题

已知关于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
①求证：不论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
②若△ABC中，AB、AC的长是已知方程的两个实数根，第三边BC的长为5．问：k为何值时，△ABC是直角三角形？

（1）证明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△＞0，
∴不论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解为x=

2k+3±1

2

，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
设AB=k+2，AC=k+1，
当AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，解得k₁=-5，k₂=2，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
当AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，解得k=-14，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
当AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，解得k=11，由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k为2或11时，△ABC是直角三角形．
（1）证明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△＞0，
∴不论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解为x=

2k+3±1

2

，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
设AB=k+2，AC=k+1，
当AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，解得k₁=-5，k₂=2，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
当AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，解得k=-14，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
当AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，解得k=11，由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k为2或11时，△ABC是直角三角形．