试题

题目：
青果学院（2000·内蒙古）如图，已知在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x2+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若tanA=
3
4
，求AE的长．
答案
（1）证明：由已知，得x2-（c+4）x+4（c+2）=0，
由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（c+4）2-8（c+2）=c2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）解：连接OE，设BO=OE=r，青果学院
∵⊙O切AC于点E，
∴OE⊥AC，
在Rt△ABC中，由tanA=
BC
AC
=
3
4
，设BC=a=3x，则AC=b=4x，
则AB=c=5x，代入a+b=c+4中，得
3x+4x=5x+4，
解得x=2，
∴a=3x=6，b=4x=8，c=5x=10，
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
OE
BC
=
OA
AB
=
AE
AC
，
即
r
6
=
10-r
10
=
AE
8
，
解得r=
15
4
，AE=5．
（1）证明：由已知，得x2-（c+4）x+4（c+2）=0，
由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（c+4）2-8（c+2）=c2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）解：连接OE，设BO=OE=r，青果学院
∵⊙O切AC于点E，
∴OE⊥AC，
在Rt△ABC中，由tanA=
BC
AC
=
3
4
，设BC=a=3x，则AC=b=4x，
则AB=c=5x，代入a+b=c+4中，得
3x+4x=5x+4，
解得x=2，
∴a=3x=6，b=4x=8，c=5x=10，
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
OE
BC
=
OA
AB
=
AE
AC
，
即
r
6
=
10-r
10
=
AE
8
，
解得r=
15
4
，AE=5．
考点梳理
切割线定理；根与系数的关系；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的性质．
（1）将一元二次方程整理为一般形式，由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），根据a2+b2=（a+b）2-2ab，将两根关系的式子代入得出a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理判断；
（2）连接OE，在Rt△ABC中，由tanA=
BC
AC
=
3
4
，设BC=a=3x，则AC=b=4x，由勾股定理得AB=c=5x，代入a+b=c+4中求x，由OE⊥AC，BC⊥AC，可证△AOE∽△ABC，设BO=OE=r，由相似得
OE
BC
=
OA
AB
=
AE
AC
，先求r，再求AE．
本题属于压轴题，综合考查了一元二次方程的两根关系，勾股定理逆定理的运用，切线的性质，相似三角形及解直角三角形的知识，关键是根据题意，找到解题的突破口．
压轴题．
找相似题