试题

（2011·抚顺一模）如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）若点M（0，-4），动点P从M点出发，沿直线运动到该抛物线对称轴的某点E，再沿直线运动到x轴上某点F，最后沿直线运动到点C，求使点P运动的总路程最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短路程的长．

解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²+bx-2经过A（-1，0），
∴0=

1

2

-b-2，
解得：b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x）-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点D的坐标为：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）当x=0，∴y=-2，
∴C点坐标为：（0，-2），
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2与x轴交于A、B，
∴0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B点坐标为：（4，0），
∴AC ²=AO ²+CO²=1+4=5，
BC ²=BO ²+CO²=16+4=20，
AB ²=（AO+BO）²=25，
∴AC ²+BC ²=AB²，
∴△ABC的形状是直角三角形；

（3）①作C关于x=

3

2

的对称点C′，
M关于x轴对称点M′，连接M′C′交x轴于点F、抛物线对称轴于点E，
则有：MF+FE+EC为点P运动的最短路程，
求出直线M′C′：y=-2x+4，
求出点F（2，0），点E（

3

2

，1），
最短路线为：3

5

．
②做M点关于抛物线对称轴的对称点M′（3，-4），
做C点关于x轴的对称点C′（0，2），
连接M'C'，则M'C'长度即为所求最小长度3

5

；
M'C'与x轴交点为所求F点，
而M'C'与抛物线对称轴的交点为所求E点，
F点坐标（1，0），
E点坐标（1.5，-1）．
解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²+bx-2经过A（-1，0），
∴0=

1

2

-b-2，
解得：b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x）-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点D的坐标为：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）当x=0，∴y=-2，
∴C点坐标为：（0，-2），
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2与x轴交于A、B，
∴0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B点坐标为：（4，0），
∴AC ²=AO ²+CO²=1+4=5，
BC ²=BO ²+CO²=16+4=20，
AB ²=（AO+BO）²=25，
∴AC ²+BC ²=AB²，
∴△ABC的形状是直角三角形；

（3）①作C关于x=

3

2

的对称点C′，
M关于x轴对称点M′，连接M′C′交x轴于点F、抛物线对称轴于点E，
则有：MF+FE+EC为点P运动的最短路程，
求出直线M′C′：y=-2x+4，
求出点F（2，0），点E（

3

2

，1），
最短路线为：3

5

．
②做M点关于抛物线对称轴的对称点M′（3，-4），
做C点关于x轴的对称点C′（0，2），
连接M'C'，则M'C'长度即为所求最小长度3

5

；
M'C'与x轴交点为所求F点，
而M'C'与抛物线对称轴的交点为所求E点，
F点坐标（1，0），
E点坐标（1.5，-1）．