试题

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0．
（1）若a，b是方程的两根，求证△ABC为直角三角形；
（2）若在（1）的条件下，且25asinA=9c，求此直角三角形三边的长．

解：（1）∵a，b是方程的根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8．
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×（4c+8）=c²+8c+16-8c-16=c²．
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．

（2）由（1）知∠C=90°，故sinA=

a

c

．
又25asinA=9c，则sinA=

9c

25a

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴

a2

c2

=

9

25

，
得

a

c

=

3

5

，
则可得

b

c

=

4

5

．
由a+b=c+4，可得

7

5

c=c+4，
解得c=10．
∴a=6，b=8．
解：（1）∵a，b是方程的根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8．
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×（4c+8）=c²+8c+16-8c-16=c²．
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．

（2）由（1）知∠C=90°，故sinA=

a

c

．
又25asinA=9c，则sinA=

9c

25a

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴

a2

c2

=

9

25

，
得

a

c

=

3

5

，
则可得

b

c

=

4

5

．
由a+b=c+4，可得

7

5

c=c+4，
解得c=10．
∴a=6，b=8．