试题

（2010·河源）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．
（1）求点E，D的坐标；
（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；
（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

解：（1）取BC的中点M，过M作MN⊥x轴于N；则M点即为以BC为直径的圆的圆心；
∵点D是⊙M上的点，且BC是直径，
∴∠BDC=90°；
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC；
又∵∠COD=∠OAB，
∴△OCD∽△ADB；
∴

AB

OD

=

AD

OC

；
∵OC=3，AB=1，OA=OD+DA=4，
∴3×1=OD×（4-OD），
解得AD=1，OD=3；
∵点D在点E右边，
∴OD=3，OE=1；
即D（3，0），E（1，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，（a≠0），依题意，
有：

c=3 16a+4b+c=1 9a+3b+c=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2 c=3

；
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3；

（3）假设存在这样的Q点；
①△BDQ以D为直角顶点；
由于CD⊥BD，且C点在抛物线的图象上，
所以C点符合Q点的要求；
此时Q（0，3）；
②△BDQ以B为直角顶点；
易知直线CD的解析式为：y=-x+3；
作过B的直线l，且l∥CD；
设l的解析式为y=-x+h，由于l经过点B（4，1），
则有：-4+h=1，h=5；
∴直线l的解析式为y=-x+5；
联立抛物线的解析式有：

y= 1 2 x2- 5 2 x+3 y=-x+5

，
解得

x=4 y=1

，

x=-1 y=6

；
∴Q（-1，6）；
综上所述，存在符合条件的Q点，且Q点坐标为（0，3）或（-1，6）．
解：（1）取BC的中点M，过M作MN⊥x轴于N；则M点即为以BC为直径的圆的圆心；
∵点D是⊙M上的点，且BC是直径，
∴∠BDC=90°；
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC；
又∵∠COD=∠OAB，
∴△OCD∽△ADB；
∴

AB

OD

=

AD

OC

；
∵OC=3，AB=1，OA=OD+DA=4，
∴3×1=OD×（4-OD），
解得AD=1，OD=3；
∵点D在点E右边，
∴OD=3，OE=1；
即D（3，0），E（1，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，（a≠0），依题意，
有：

c=3 16a+4b+c=1 9a+3b+c=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2 c=3

；
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3；

（3）假设存在这样的Q点；
①△BDQ以D为直角顶点；
由于CD⊥BD，且C点在抛物线的图象上，
所以C点符合Q点的要求；
此时Q（0，3）；
②△BDQ以B为直角顶点；
易知直线CD的解析式为：y=-x+3；
作过B的直线l，且l∥CD；
设l的解析式为y=-x+h，由于l经过点B（4，1），
则有：-4+h=1，h=5；
∴直线l的解析式为y=-x+5；
联立抛物线的解析式有：

y= 1 2 x2- 5 2 x+3 y=-x+5

，
解得

x=4 y=1

，

x=-1 y=6

；
∴Q（-1，6）；
综上所述，存在符合条件的Q点，且Q点坐标为（0，3）或（-1，6）．