试题

（2009·宁夏）如图，抛物线y=-

1

2

x²+

2

2

x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=-

1

2

x²+

2

2

x+2与x轴交于A、B两点，
∴-

1

2

x²+

2

2

x+2=0．即x²-

2

x-4=0．
解之得：x₁=-

2

，x₂=2

2

．
∴点A、B的坐标为A（-

2

，0）、B（2

2

，0）．（2分）
将x=0代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2，得C点的坐标为（0，2）；（3分）

（2）∵AC=

6

，BC=2

3

，AB=3

2

，
∴AB²=AC²+BC²，则∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；（6分）

（3）当PC∥x轴，即P点与C点是抛物线的对称点，而C点坐标为（0，2）
设y=2，把y=2代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2得：-

1

2

x²+

2

2

x+2=2，
∴x₁=0，x₂=

2

．
∴P点坐标为（

2

，2）．（8分）
解：（1）∵抛物线y=-

1

2

x²+

2

2

x+2与x轴交于A、B两点，
∴-

1

2

x²+

2

2

x+2=0．即x²-

2

x-4=0．
解之得：x₁=-

2

，x₂=2

2

．
∴点A、B的坐标为A（-

2

，0）、B（2

2

，0）．（2分）
将x=0代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2，得C点的坐标为（0，2）；（3分）

（2）∵AC=

6

，BC=2

3

，AB=3

2

，
∴AB²=AC²+BC²，则∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；（6分）

（3）当PC∥x轴，即P点与C点是抛物线的对称点，而C点坐标为（0，2）
设y=2，把y=2代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2得：-

1

2

x²+

2

2

x+2=2，
∴x₁=0，x₂=

2

．
∴P点坐标为（

2

，2）．（8分）