试题

题目：
（2011·南漳县模拟）已知a、b、c是△ABC的三边，当m＞0时，关于x的方程c（x2+m）+b（x2-m）-2a
m
x=0有两个相等的实数根，则△ABC的形状是
直角
直角
三角形．
答案
直角

解：由原方程，得
（c+b）x2-2a
m
x+（c-b）m=0；
∵关于x的方程c（x2+m）+b（x2-m）-2a
m
x=0有两个相等的实数根，
∴△=4a2m-4（c+b）（c-b）m=0，即m（a2-c2+b2）=0，
又∵m＞0，
∴a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2；
而a、b、c是△ABC的三边，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故答案是：直角．
考点梳理
根的判别式；勾股定理的逆定理．
先把原方程化为关于x的一元二次方程的一般形式，然后利用根的判别式△=b2-4ac=0求得a2+b2=c2；最后由直角三角形的勾股定理的逆定理填空．
本题考查了根的判别式、勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根．
计算题；压轴题．
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