试题

题目：
在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=15，中位线长为
17
2
，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则
S1
+
S2
=
2
15
2
15
．
答案
2
15

青果学院解：过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，
∵AB∥CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB，BE=AC，
∵梯形中位线为
17
2
，
∴AB+CD=17，
∴DE=CE+CD=AB+CD=17，
∵BE=AC=8，BD=15，
∴DE2=BD2+BE2，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠COD=90°，
设S△EBD=S，
∵△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，
则S2：S=DO2：DB2，S1：S=OB2：BD2，
∴
S1
+
S2
=
S
，
∵S△EBD=
1
2
BD·BE=
1
2
×8×15=60，
∴
S1
+
S2
=
60
=2
15
．
故答案为：2
15
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；梯形中位线定理．
首先根据题意画出图形，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，易得四边形ABEC是平行四边形，△BDE为直角三角形，又由设S△EBD=S，可得△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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