试题

题目：
设S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+…
1+
1
20082
+
1
20092
，求不超过S的最大整数[S]．
答案
解：∵
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴原式=1+
1
1
-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+1+
1
3
-
1
4
+…+1+
1
2007
-
1
2008
+1+
1
2008
-
1
2009
，
=2009-
1
2009
；
∴S＜2009，
∴不超过S的最大整数[S]是2008．
解：∵
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴原式=1+
1
1
-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+1+
1
3
-
1
4
+…+1+
1
2007
-
1
2008
+1+
1
2008
-
1
2009
，
=2009-
1
2009
；
∴S＜2009，
∴不超过S的最大整数[S]是2008．
考点梳理
二次根式的化简求值．
根据
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
，可代入原式，化简、整理后，即可得出；
本题主要考查了二次根式的化简求值，知道
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
，是解答本题的基础．
计算题．
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