试题
题目：
已知关于x的方程（1-3k）x
2
-
k
x
-1=0有实数根，则k的取值范围是
0＜k＜
4
11
0＜k＜
4
11
．
答案
0＜k＜
4
11
解：①当关于x的方程（1-3k）x
2
-
k
x
-1=0是一元一次方程时，
1-3k=0，且k≥0；
解得k=
1
3
；
②当关于x的方程（1-3k）x
2
-
k
x
-1=0是一元二次方程时．
∵关于x的方程（1-3k）x
2
-
k
x
-1=0有实数根，
∴
k+4(1-3k)≥0
k≥0
1-3k≠0
，解得0≤k≤
4
11
，且k≠
1
3
；
故答案是：0≤k≤
4
11
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式．
需分类讨论：①当关于x的方程（1-3k）x
2
-
k
x
-1=0是一元一次方程时，根据一元一次方程的定义，列出关于k的方程，求得k值；②当关于x的方程（1-3k）x
2
-
k
x
-1=0是一元二次方程时：由关于x的方程（1-3k）x
2
-
k
x
-1=0有实数根，得到△=b
2
-4ac＞0；根据二次根式的定义知k≥0；据此列出关于k的不等式组，通过解不等式组求得k的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b
2
-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
分类讨论．
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