试题

题目：
（2005·烟台）先阅读下面材料，然后解答问题：
王老师在黑板上出了这样一道习题：设方程2x2-5x+k=0的两个实数根是x1，x2，请你选取一个适当的k值，求
x2
x1
+
x1
x2
的值．
小明同学取k=4，则方程是2x2-5x+4=0．
由根与系数的关系，得x1+x2=
5
2
，x1x2=2．
∴
x2
x1
+
x1
x2
=
x22+x12
x1x2
=
(x1+x2)2-2x1x2
x1x2
=
25
4
-2×2
2
=
9
8

即
x2
x1
+
x1
x2
=
9
8
．
问题（1）：请你对小明解答的正误作出判断，并说明理由．
问题（2）：请你另取一个适当的正整数k，其它条件不变，不解方程，改求|x1-x2|的值．
答案
解：（1）小明的解法是错误的．
∵当k=4时，△=25-4×2×4=25-32=-7＜0，
∴方程2x2-5x+4=0没有实数根，
本题无解．
所以他选择的k不正确；

（2）（本题答案不唯一，k可以取1、2、3）
如：取k=3时，方程2x2-5x+3=0
∴△=25-4×2×3=25-24=1＞0
由根与系数关系得
x1+x2=
5
2
，x1x2=
3
2
，
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
25
4
-4×
3
2
=
1
2
．
解：（1）小明的解法是错误的．
∵当k=4时，△=25-4×2×4=25-32=-7＜0，
∴方程2x2-5x+4=0没有实数根，
本题无解．
所以他选择的k不正确；

（2）（本题答案不唯一，k可以取1、2、3）
如：取k=3时，方程2x2-5x+3=0
∴△=25-4×2×3=25-24=1＞0
由根与系数关系得
x1+x2=
5
2
，x1x2=
3
2
，
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
25
4
-4×
3
2
=
1
2
．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
（1）使用根与系数的关系列式计算时要先判断该方程是否存在实根，然后再代入数值计算；
（2）要求|x1-x2|的值可以把它变形为|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
，然后利用根与系数的关系即可求出值．
解题时一定要认真审题，周密考虑问题．在利用根与系数的关系解决问题时经常与根的判别式相联系．
阅读型；开放型．
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