试题

（2006·北京）已知：关于x的方程mx²-14x-7=0有两个实数根x₁和x₂，关于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有两个实数根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．当

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0时，求m的取值范围．

解：∵方程mx²-14x-7=0有两个实数根，则△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，①
∵方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有两个实数根，则△=4（n-1）²-4（n²-2n）=4＞0，
分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0，
∴y₁=n-2，y₂=n，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n-2＜n≤4，
解得，0≤n≤4，
∵x₁+x₂=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
∴

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0变形为

m

7

+

6m

7

+2[2（n-2）-n²]+14=0，
化简得，m=2n²-4n-6．
由二次函数的图象知，
当0≤n≤4时，-8≤m≤10，②
由①②得：-7≤m≤10，且m≠0．
解：∵方程mx²-14x-7=0有两个实数根，则△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，①
∵方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有两个实数根，则△=4（n-1）²-4（n²-2n）=4＞0，
分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0，
∴y₁=n-2，y₂=n，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n-2＜n≤4，
解得，0≤n≤4，
∵x₁+x₂=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
∴

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0变形为

m

7

+

6m

7

+2[2（n-2）-n²]+14=0，
化简得，m=2n²-4n-6．
由二次函数的图象知，
当0≤n≤4时，-8≤m≤10，②
由①②得：-7≤m≤10，且m≠0．