试题

题目：
已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④当a+b=ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是
①②④
①②④
．（填上你认为正确结论的所有序号）
答案
①②④

解：∵△=（a+b）2-4（ab-1）=（a-b）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，所以①正确；
∵x1x2=ab-1，
∴x1x2＜ab，所以②正确；
∵x1+x2=a+b，x1x2=ab-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（a+b）2-2（ab-1）=a2+b2+2，
∴x12+x22，＞a2+b2，所以③错误；
∵a+b=ab，
∴x1+x2=x1x2+1，
∴x1x2-（x1+x2）+1=0，
∴（x1-1）（x2-1）=0，
∴x1=1，x2=1．所以④正确．
故答案为①②④．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
先计算判别式得到△=a-b）2+4＞0，根据判别式的意义可对①进行判断；根据根与系数的关系得到x1x2=ab-1，则可对②进行判断；根据根与系数的关系得到x1+x2=a+b，x1x2=ab-1，再利用完全平方公式计算得到x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（a+b）2-2（ab-1）=a2+b2+2，则可对③进行判断；由a+b=ab得到x1+x2=x1x2+1，然后移项后分解因式得到x1=1，x2=1，则可对④进行判断．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．也考查了一元二次方程根的判别式．
计算题．
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