试题

（2011·延庆县一模）已知：关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）设m＜0，且方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是关于m的函数，且y=

6x2

1-x1

，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m的方程y+m-2=0的解．

（1）证明：∵关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0的二次项系数a=1，一次项系数是b=-2（m+1），常数项c=2m+1，
∴△=b²-4ac=4（m+1）²-8m-4=4m²≥0，
∴方程x²-2（m+1）x+2m+1=0有两个实数根；

（2）∵原方程的根是：x=

2(m+1)± 4m2

2

=m+1±m，
又∵m＜0，方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），
x₁=2m+1，x₂=1，
∴y=

6x2

1-x1

=

6

1-2m-1

=-

3

m

，
即y=-

3

m

；

（3）∵y=-

3

m

；
∴由y+m-2=0，得
-

3

m

+m-2=0，即m²-2m-3=0，
∴（m-3）（m+1）=0，
∴m-3=0或m+1=0，
∴m=3（舍去），或m=-1．
故方程的解是m=-1．
（1）证明：∵关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0的二次项系数a=1，一次项系数是b=-2（m+1），常数项c=2m+1，
∴△=b²-4ac=4（m+1）²-8m-4=4m²≥0，
∴方程x²-2（m+1）x+2m+1=0有两个实数根；

（2）∵原方程的根是：x=

2(m+1)± 4m2

2

=m+1±m，
又∵m＜0，方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），
x₁=2m+1，x₂=1，
∴y=

6x2

1-x1

=

6

1-2m-1

=-

3

m

，
即y=-

3

m

；

（3）∵y=-

3

m

；
∴由y+m-2=0，得
-

3

m

+m-2=0，即m²-2m-3=0，
∴（m-3）（m+1）=0，
∴m-3=0或m+1=0，
∴m=3（舍去），或m=-1．
故方程的解是m=-1．