试题
题目：
已知：关于x的方程①x
2
-（m+2）x+m-2=0有两个符号不同的实数根x
1
，x
2
，且x
1
＞|x
2
|＞0；关于x的方程②mx
2
+（n-2）x+m
2
-3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．
答案
解：由方程①知：
∵x
1
·x
2
＜0，x
1
＞|x
2
|＞0，
∴x
1
＞0，x
2
＜0，
∵△=（m-2）
2
+8＞0，
∴x
1
+x
2
=m+2＞0，x
1
·x
2
=m-2＜0，
∴-2＜m＜2，
由方程②知：
m
2
-3
m
=2
，
∴m
2
-2m-3=0，
∴m=3（舍去），m=-1（2分）
代入②得：x
2
-（n-2）x+2=0，
∵方程的两根为有理数，
∴△=（n-2）
2
+8=k
2
，
∴△=（n-2）
2
-k
2
=-8，（n-2+k）（n-2-k）=-8，
∴
n-2+k=4
n-2-k=-2
或
n-2+k=2
n-2-k=-4
，
∴n=5或n=1．
解：由方程①知：
∵x
1
·x
2
＜0，x
1
＞|x
2
|＞0，
∴x
1
＞0，x
2
＜0，
∵△=（m-2）
2
+8＞0，
∴x
1
+x
2
=m+2＞0，x
1
·x
2
=m-2＜0，
∴-2＜m＜2，
由方程②知：
m
2
-3
m
=2
，
∴m
2
-2m-3=0，
∴m=3（舍去），m=-1（2分）
代入②得：x
2
-（n-2）x+2=0，
∵方程的两根为有理数，
∴△=（n-2）
2
+8=k
2
，
∴△=（n-2）
2
-k
2
=-8，（n-2+k）（n-2-k）=-8，
∴
n-2+k=4
n-2-k=-2
或
n-2+k=2
n-2-k=-4
，
∴n=5或n=1．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式．
首先对第一个方程进行分析，求出m的取值范围，然后通过第二个方程可知
m
2
-3
m
=2
，求出m的值，再把m的值代入第二个方程，即得△=（n-2）
2
-8=k
2
，通过分析，得关于n和k的二元一次方程组，解方程组即可．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式、解二元一次方程组，关键在于确定m的取值，然后分析出关于n和k的二元一次方程组．
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