试题

题目：
已知关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-k2=0．
（1）求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1．x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2
2
，求k的值．
答案
解：（1）∵△=[-（k-3）]2-4×1×（-k2）=（k-3）2+4k2＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵|x1-x2|=2
2
，
∴x12+x22-2x1x2=8，
∴（x1+x2）2-4x1x2=8，
∵x1+x2=k-3，x1x2=-k2，
∴（k-3）2+4k2=8，
解得；k1=1或k2=
1
5
．
解：（1）∵△=[-（k-3）]2-4×1×（-k2）=（k-3）2+4k2＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵|x1-x2|=2
2
，
∴x12+x22-2x1x2=8，
∴（x1+x2）2-4x1x2=8，
∵x1+x2=k-3，x1x2=-k2，
∴（k-3）2+4k2=8，
解得；k1=1或k2=
1
5
．
考点梳理
根的判别式；根与系数的关系．
（1））根据△=[-（k-3）]2-4×1×（-k2）=（k-3）2+4k2＞0，即可得出答案；
（2﹚先根据|x1-x2|=2
2
，得出x12+x22-2x1x2=8，再根据x1+x2=k-3，x1x2=-k2，得出（k-3）2+4k2=8，最后解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
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