试题

题目：
已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1-x2）2=2，求k的值．
答案
解：（1）△=（2k-3）2-4（k2+1）≥0，解得k≤
5
12
，
所以k≤
5
12
时，此方程有实数根；
（2）根据题意得x1+x2=2k-3，x1·x2=k2+1，
∵（x1-x2）2=2，
∴（x1+x2）2-4x1·x2=2，
∴（2k-3）2-4（k2+1）=2，
∴k=
1
4
．
解：（1）△=（2k-3）2-4（k2+1）≥0，解得k≤
5
12
，
所以k≤
5
12
时，此方程有实数根；
（2）根据题意得x1+x2=2k-3，x1·x2=k2+1，
∵（x1-x2）2=2，
∴（x1+x2）2-4x1·x2=2，
∴（2k-3）2-4（k2+1）=2，
∴k=
1
4
．
考点梳理
根的判别式；根与系数的关系．
（1）根据根的判别式的意义得到当△=（2k-3）2-4（k2+1）≥0时，方程有实数根，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k-3，x1·x2=k2+1，变形（x1-x2）2=2得（x1+x2）2-4x1·x2=2，所以（2k-3）2-4（k2+1）=2，然后解方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
计算题．
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