试题

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．且|x₁-x₂|=2，求m的值．

解：（1）①当m=0时，原方程为x-2=0，
解得：x=2，
所以方程有实数根；
②当m≠0时，
∵△=b²-4ac
=[-（3m-1）]²-4m（2m-2），
=（3m-1）²-8m²+8m，
=9m²-6m+1-8m²+8m，
=m²+2m+1，
=（m+1）²；
∴△=（m+1）²≥0，
∴方程有实数根；
综上可知无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）∵一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
|x₁-x₂|=2，
∴x₁+x₂=-

b

a

=

3m-1

m

，x₁x₂=

c

a

=

2m-2

m

；
∴（x₁-x₂）²=4，
∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=4，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-4x₁x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（

3m-1

m

）²-4×

2m-2

m

=4，
∴整理得：-3m²+2m-1=0，
解得：m₁=1，m₂=-

1

3

，
∴一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为
x₁，x₂，且|x₁-x₂|=

5

3

，m的值为1或-

1

3

．
解：（1）①当m=0时，原方程为x-2=0，
解得：x=2，
所以方程有实数根；
②当m≠0时，
∵△=b²-4ac
=[-（3m-1）]²-4m（2m-2），
=（3m-1）²-8m²+8m，
=9m²-6m+1-8m²+8m，
=m²+2m+1，
=（m+1）²；
∴△=（m+1）²≥0，
∴方程有实数根；
综上可知无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）∵一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为x₁，x₂．
|x₁-x₂|=2，
∴x₁+x₂=-

b

a

=

3m-1

m

，x₁x₂=

c

a

=

2m-2

m

；
∴（x₁-x₂）²=4，
∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=4，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-4x₁x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（

3m-1

m

）²-4×

2m-2

m

=4，
∴整理得：-3m²+2m-1=0，
解得：m₁=1，m₂=-

1

3

，
∴一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的两个实数根分别为
x₁，x₂，且|x₁-x₂|=

5

3

，m的值为1或-

1

3

．