试题

题目：
已知关于x的方程x2+（1-2m）x+m2=0．
（1）若-1是方程的一个根，求m的值；
（2）如果x1、x2是方程的两个根，且有x1+x2+
1
2
=
x1·x2
，求m的值．
答案
解：（1）∵-1是方程x2+（1-2m）x+m2=0的一个根，
∴（-1）2+（1-2m）（-1）+m2=0，
即m2+2m=0，
解得m=0或m=-2；
（2）∵x1、x2是方程x2+（1-2m）x+m2=0的两个根，
∴x1+x2=2m-1，x1·x2=m2，
∵x1+x2+
1
2
=
x1·x2
，
∴2m-1+
1
2
=±m，
解得m=
1
2
或m=
1
6
，
∵方程x2+（1-2m）x+m2=0有两个根，
∴b2-4ac≥0解得m≤
1
4

∴m=
1
2
（不符合题意，舍去），
∴m=
1
6
．
解：（1）∵-1是方程x2+（1-2m）x+m2=0的一个根，
∴（-1）2+（1-2m）（-1）+m2=0，
即m2+2m=0，
解得m=0或m=-2；
（2）∵x1、x2是方程x2+（1-2m）x+m2=0的两个根，
∴x1+x2=2m-1，x1·x2=m2，
∵x1+x2+
1
2
=
x1·x2
，
∴2m-1+
1
2
=±m，
解得m=
1
2
或m=
1
6
，
∵方程x2+（1-2m）x+m2=0有两个根，
∴b2-4ac≥0解得m≤
1
4

∴m=
1
2
（不符合题意，舍去），
∴m=
1
6
．
考点梳理
根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．
（1）把x=-1代入方程，可得关于m的方程，易求出m的值；
（2）根据根与系数的关系，可得x1+x2=2m-1①，x1·x2=m2②，把①②代入x1+x2+
1
2
=
x1·x2
中，可求出m的值，又b2-4ac≥0，易求m的取值范围，最终确定符合条件的m的值．
本题综合考查了根的判别式、根与系数的关系、方程的解，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
综合题．
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