试题

已知关于x的方程kx²-4x-2=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=4，求k的值．

解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，
△=（-4）²-4×k×（-2）=16+8k≥0，
k≥-2，
所以k≥-2且k≠0时，方程总有两个实数根．
（2）∵方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=78，
∵x₁+x₂=-

b

a

，x₁·x₂=

c

a

，
∴（

4

k

）²-2×

-2

k

=4，
k²-k-4=0
解得k=

1± 17

2

，
故k的值是

1+ 17

2

或

1- 17

2

．
解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，
△=（-4）²-4×k×（-2）=16+8k≥0，
k≥-2，
所以k≥-2且k≠0时，方程总有两个实数根．
（2）∵方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=78，
∵x₁+x₂=-

b

a

，x₁·x₂=

c

a

，
∴（

4

k

）²-2×

-2

k

=4，
k²-k-4=0
解得k=

1± 17

2

，
故k的值是

1+ 17

2

或

1- 17

2

．