试题
题目：
已知关于x的方程x
2
+kx-
3
4
k
2
=0（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此方程总有两个不等的实数根x
1
、x
2
；
（2）设此方程的两个实数根为x
1
、x
2
，若
1
|
x
1
|
-
1
|
x
2
|
=
2
3
，求k的值．
答案
（1）证明：△=k
2
-4×1×（-
3
4
k
2
）=4k
2
，
∵k＞0，
∴△=4k
2
＞0．
∴此方程总有两个不等的实数根．
（2）解：方程x
2
+kx-
3
4
k
2
=0的解为x=
1
2
k或x=-
3
2
k．
∴
1
|
x
1
|
-
1
|
x
2
|
=|
2
k
|-|-
2
3k
|=
2
k
+
2
3k
=
2
3
∴解得，k=2．
（1）证明：△=k
2
-4×1×（-
3
4
k
2
）=4k
2
，
∵k＞0，
∴△=4k
2
＞0．
∴此方程总有两个不等的实数根．
（2）解：方程x
2
+kx-
3
4
k
2
=0的解为x=
1
2
k或x=-
3
2
k．
∴
1
|
x
1
|
-
1
|
x
2
|
=|
2
k
|-|-
2
3k
|=
2
k
+
2
3k
=
2
3
∴解得，k=2．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式．
（1）根据一元二次方程的根的判别式符号来证明方程的根的情况；
（2）利用因式分解法求得方程的两根，然后求k的值．
本题考查了根的判别式．一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的根与△=b
2
-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
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