试题
题目：
已知关于x的一元二次方程x
2
+（2m-1）x+m
2
=0有两个实数根x
1
和x
2
．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在m的值使得x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
答案
解：（1）∵关于x的一元二次方程x
2
+（2m-1）x+m
2
=0有两个实数根x
1
和x
2
，
∴△=b
2
-4ac=（2m-1）
2
-4×1×m
2
=-4m+1≥0，
解得m≤
1
4
；
（2）不存在m的值，使得x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立．理由如下：
∵x
1
、x
2
是一元二次方程x
2
+（2m-1）x+m
2
=0的两个实数根，
∴x
1
+x
2
=1-2m，x
1
x
2
=m
2
．
∴x
1
x
2
+x
1
+x
2
=m
2
+1-2m
若x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立，则m
2
+1-2m=0，
解上述方程得，m=1．
∵（1）中m≤
1
4
，（2）中m=1，
∴矛盾，
∴不存在m的值，使得x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x
2
+（2m-1）x+m
2
=0有两个实数根x
1
和x
2
，
∴△=b
2
-4ac=（2m-1）
2
-4×1×m
2
=-4m+1≥0，
解得m≤
1
4
；
（2）不存在m的值，使得x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立．理由如下：
∵x
1
、x
2
是一元二次方程x
2
+（2m-1）x+m
2
=0的两个实数根，
∴x
1
+x
2
=1-2m，x
1
x
2
=m
2
．
∴x
1
x
2
+x
1
+x
2
=m
2
+1-2m
若x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立，则m
2
+1-2m=0，
解上述方程得，m=1．
∵（1）中m≤
1
4
，（2）中m=1，
∴矛盾，
∴不存在m的值，使得x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式．
（1）根据已知可知，方程有两个实数根，那么△≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系x
1
+x
2
=1-2m，x
1
x
2
=m
2
，再利用x
1
x
2
+x
1
+x
2
=0成立求出m的值即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
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